Les portes logiques sont les briques élémentaires des circuits numériques. Elles reçoivent une ou plusieurs entrées interprétées comme 0 et 1 logiques, puis produisent une sortie selon une règle précise. En les combinant, on peut comparer des données, prendre des décisions, additionner des nombres, sélectionner des signaux et construire registres, mémoires et unités arithmétiques et logiques.
Intel décrit clairement la hiérarchie d'une puce moderne : les transistors forment les portes logiques, les portes forment les circuits et les circuits forment les processeurs contenant des millions ou des milliards de transistors. Comprendre AND, OR et NOT revient donc à étudier le premier niveau organisé de calcul.
Que signifient réellement 0 et 1 ?
Le NIST définit le bit comme un chiffre binaire valant 0 ou 1. Dans un schéma logique, ce sont des états abstraits : faux et vrai, bas et haut, désactivé et activé, ou toute autre paire définie par la conception.
Associer 0 à l'absence et 1 à la présence d'une condition est une analogie pratique, mais pas une loi physique universelle. Les circuits réels représentent les deux états par des plages de tension dépendant de la famille logique, de l'alimentation et des seuils. Un 0 logique ne signifie pas toujours exactement zéro volt.
Table de vérité : toutes les réponses possibles
Une table de vérité énumère chaque combinaison des entrées et la sortie correspondante. Une entrée donne deux combinaisons ; deux entrées en donnent quatre : 00, 01, 10 et 11. Avec n entrées, une table complète contient 2ⁿ lignes.
A et B désignent généralement les entrées, Y ou Q la sortie. La table ne décrit pas les transistors internes ; elle spécifie le comportement logique attendu.
Sept fonctions fondamentales comparées par leurs symboles, leurs règles et toutes les combinaisons à deux entrées.
NOT : l'inverseur
NOT possède une entrée et donne toujours la valeur opposée :
- si A = 0, Y = 1 ;
- si A = 1, Y = 0.
La fonction s'écrit Y = NOT A, Y = ¬A ou avec une barre au-dessus de A. Dans le symbole ANSI/IEEE habituel, le triangle pointe vers la sortie ; le petit cercle, appelé bulle d'inversion, indique explicitement la négation.
La bulle de sortie indique l'inversion : 0 devient 1 et 1 devient 0.
L'inverseur peut convertir un contrôle actif à l'état haut en contrôle actif à l'état bas, produire le complément d'un bit ou adapter la polarité. Une bulle placée sur d'autres entrées ou sorties signifie également négation ou logique active à l'état bas.
AND : toutes les conditions doivent être vraies
Une AND à deux entrées produit 1 uniquement lorsque A et B valent tous deux 1 :
Y = A AND B
Elle exprime « toutes les conditions requises ». Une machine ne démarre que si la commande est active et la protection fermée. Une donnée passe seulement si elle est présente et autorisée.
En algèbre de Boole, AND se note avec un point, une multiplication implicite ou ∧ : Y = A · B.
OR : au moins une condition est vraie
OR produit 1 si au moins une entrée vaut 1. Seule la combinaison 00 produit 0 :
Y = A OR B
Une alarme peut se déclencher si le détecteur de fumée ou le capteur de température signale un danger. Un système peut recevoir une commande automatique ou manuelle.
OR se note souvent + ou ∨. Ce plus n'est pas l'addition binaire complète : 1 OR 1 = 1, tandis que 1 + 1 = 10₂.
NAND : AND suivie de NOT
NAND signifie NOT AND. La sortie vaut 0 uniquement lorsque toutes les entrées valent 1 :
Y = NOT (A AND B)
Son symbole est celui de AND avec une bulle de sortie. NAND est universelle : des NAND seules peuvent reconstruire NOT, AND, OR et toute fonction booléenne combinatoire.
Construire d'autres fonctions avec NAND
- NOT : relier les deux entrées : NAND(A, A) = NOT A.
- AND : inverser la sortie d'une NAND avec une seconde NAND.
- OR : inverser A et B séparément puis appliquer NAND.
Universelle signifie fonctionnellement complète, non pas que tous les circuits pratiques doivent utiliser uniquement NAND.
NOR : OR suivie de NOT
NOR signifie NOT OR et ne produit 1 que si toutes les entrées sont à 0 :
Y = NOT (A OR B)
NOR est également universelle. Deux NOR croisées peuvent former une bascule SR simple, capable de conserver un état grâce à la rétroaction. On passe alors de la logique combinatoire à la logique séquentielle.
XOR : vraie lorsque les entrées diffèrent
XOR signifie exclusive OR. Avec deux entrées, elle vaut 1 lorsqu'une seule entrée vaut 1 :
Y = A XOR B
Elle donne 0 pour 00 et 11, et 1 pour 01 et 10 : c'est un détecteur de différence. Texas Instruments représente la fonction par ⊕ et explique qu'une entrée peut commander le passage normal ou inversé de l'autre signal.
Dans un demi-additionneur :
S = A XOR B
et la retenue vaut :
C = A AND B
XOR sert aussi à la parité, aux comparaisons, aux masques et à l'inversion sélective de bits.
XNOR : vraie lorsque les entrées sont égales
XNOR est l'inverse de XOR :
Y = NOT (A XOR B)
Elle produit 1 pour 00 et 11. C'est une porte d'équivalence et un comparateur d'un bit. Pour comparer plusieurs bits, on applique XNOR à chaque paire, puis AND à tous les résultats.
Lois de De Morgan : déplacer les inversions
Les lois de De Morgan transforment AND en OR et inversement :
NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)
Elles simplifient les schémas, permettent d'utiliser les portes disponibles et aident à comprendre la logique active à l'état bas.
De l'expression booléenne au circuit
Considérons :
Y = (A AND B) OR (NOT C)
- relier A et B à AND ;
- relier C à NOT ;
- relier les deux sorties intermédiaires à OR.
Ce circuit est combinatoire : sa sortie dépend des entrées actuelles. Avec rétroaction, bascules, flip-flops et horloge, la sortie dépend aussi de l'état précédent : ce sont les circuits séquentiels.
Du demi-additionneur à l'additionneur complet
Un demi-additionneur utilise XOR et AND mais n'accepte pas de retenue entrante. L'additionneur complet ajoute Cin :
S = A XOR B XOR Cin
Cout = (A AND B) OR (Cin AND (A XOR B))
Plusieurs additionneurs complets forment un additionneur multibit, élément concret d'une unité arithmétique et logique.
Portes idéales et composants réels
Une table de vérité décrit une porte idéale. Un composant réel possède :
- une tension d'alimentation et une famille logique ;
- des seuils d'entrée bas et haut ;
- un délai de propagation ;
- une capacité de commande et un fan-out limités ;
- une marge de bruit ;
- une consommation et une fréquence maximales.
Texas Instruments propose de nombreuses familles de portes. Nexperia documente des dispositifs configurables pouvant réaliser AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR, inverseur, buffer et multiplexeur. Les portes sont donc des composants électroniques réels avec des caractéristiques mesurables.
Précision sur les illustrations
« 0 = absence de signal, 1 = présence de signal » est une simplification pédagogique. Plus précisément, 0 et 1 sont des états logiques représentés par des niveaux électriques reconnus. Dans le symbole NOT, le triangle indique la direction conventionnelle et la bulle de sortie marque l'inversion.
Erreurs fréquentes
- Confondre OR et XOR : OR vaut aussi 1 pour 11, XOR vaut 0.
- Oublier la bulle : elle transforme AND en NAND, OR en NOR et XOR en XNOR.
- Considérer 0 et 1 comme des tensions universelles : les seuils dépendent du composant.
- Confondre OR et addition : 1 OR 1 = 1, mais 1 + 1 = 10₂.
- Ignorer le délai : une sortie réelle ne change pas instantanément.
- Laisser une entrée flottante : elle peut devenir indéterminée ou sensible au bruit.
Questions fréquentes
Quelles portes sont fondamentales ?
AND, OR et NOT sont souvent considérées comme élémentaires. NAND, NOR, XOR et XNOR proviennent de combinaisons ou d'inversions.
Pourquoi NAND et NOR sont-elles universelles ?
Parce que chacune, utilisée plusieurs fois, peut réaliser toute fonction booléenne combinatoire.
XOR signifie-t-elle « au moins une » ?
Avec deux entrées, XOR signifie exactement une, donc des entrées différentes. OR inclut aussi le cas 11.
Une porte peut-elle avoir plus de deux entrées ?
Oui. AND, OR, NAND et NOR existent avec trois, quatre, huit entrées ou davantage.
Les portes peuvent-elles mémoriser une donnée ?
Une porte combinatoire isolée ne conserve pas d'état. Des portes rétroactionnées peuvent former des bascules et des flip-flops.