Logikgatter sind die elementaren Bausteine digitaler Schaltungen. Sie erhalten einen oder mehrere Eingänge, die als logische 0 und 1 interpretiert werden, und erzeugen nach einer festen Regel einen Ausgang. Durch Kombination der Gatter entstehen Vergleiche, Entscheidungen, Addierer, Signalwähler, Register, Speicher und arithmetisch-logische Einheiten.
Intel beschreibt die Hierarchie moderner Chips so: Transistoren bilden Logikgatter, Gatter bilden Schaltungen und Schaltungen bilden Prozessoren mit Millionen oder Milliarden Transistoren. AND, OR und NOT sind daher die erste organisierte Ebene, auf der elektrische Zustände zu Berechnung werden.
Was bedeuten 0 und 1 wirklich?
Das NIST definiert ein Bit als Binärziffer mit dem Wert 0 oder 1. Im Logikdiagramm sind dies abstrakte Zustände: falsch und wahr, niedrig und hoch, deaktiviert und aktiviert oder ein anderes festgelegtes Paar.
0 als „kein Signal“ und 1 als „Signal vorhanden“ ist eine nützliche Einführung, aber keine universelle physikalische Regel. Reale Schaltungen stellen beide Werte durch Spannungsbereiche dar, die von Logikfamilie, Versorgung und Eingangsschwellen abhängen. Logisch 0 bedeutet nicht immer exakt null Volt; logisch 1 besitzt keine für alle Bausteine gleiche Spannung.
Wahrheitstabelle: alle möglichen Antworten
Eine Wahrheitstabelle zeigt jede Eingangskombination und den zugehörigen Ausgang. Ein Eingang besitzt zwei Kombinationen, zwei Eingänge vier: 00, 01, 10 und 11. Bei n Eingängen enthält eine vollständige Tabelle 2ⁿ Zeilen.
A und B bezeichnen meist Eingänge, Y oder Q den Ausgang. Die Tabelle erklärt nicht den internen Transistoraufbau, sondern das geforderte logische Verhalten.
Sieben grundlegende Funktionen im Vergleich mit Symbolen, Regeln und Eingangskombinationen.
NOT: der Inverter
NOT besitzt einen Eingang und liefert stets den entgegengesetzten Wert:
- A = 0 führt zu Y = 1;
- A = 1 führt zu Y = 0.
Die Funktion wird als Y = NOT A, Y = ¬A oder mit einem Überstrich geschrieben. Beim üblichen ANSI/IEEE-Symbol zeigt das Dreieck zum Ausgang; der kleine Kreis am Ausgang, die Inversionsblase, kennzeichnet ausdrücklich die Negation.
Die Blase am Ausgang kennzeichnet die Inversion: 0 wird zu 1 und 1 zu 0.
Ein Inverter kann aktive High-Signale in aktive Low-Signale umwandeln, das Komplement eines Bits erzeugen oder die Polarität einer Steuerung anpassen. Eine Blase an anderen Ein- oder Ausgängen bedeutet ebenfalls Negation beziehungsweise aktive Low-Logik.
AND: alle Bedingungen müssen wahr sein
Ein AND-Gatter mit zwei Eingängen liefert nur dann 1, wenn A und B beide 1 sind:
Y = A AND B
Es beschreibt „alle Bedingungen erfüllt“. Eine Maschine darf nur starten, wenn der Startbefehl aktiv und die Schutzeinrichtung geschlossen ist. Daten dürfen nur passieren, wenn sie vorhanden und freigegeben sind.
In der Booleschen Algebra wird AND mit Punkt, impliziter Multiplikation oder ∧ geschrieben: Y = A · B. Es ist keine gewöhnliche Multiplikation, auch wenn die Ergebnisse bei einzelnen Bits übereinstimmen.
OR: mindestens eine Bedingung ist wahr
OR liefert 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist. Nur 00 erzeugt 0:
Y = A OR B
Ein Alarm kann durch einen Rauchmelder oder einen Temperatursensor aktiviert werden. Ein System kann einen automatischen oder manuellen Start akzeptieren.
Boolesches OR wird häufig mit + oder ∨ geschrieben. Das Pluszeichen ist keine vollständige Binäraddition: 1 OR 1 = 1, während 1 + 1 = 10₂.
NAND: AND mit invertiertem Ausgang
NAND bedeutet NOT AND. Nur wenn alle Eingänge 1 sind, ist der Ausgang 0:
Y = NOT (A AND B)
Das Symbol ist ein AND-Gatter mit Ausgangsblase. NAND ist universell: Ausschließlich mit NAND-Gattern lassen sich NOT, AND, OR und jede kombinatorische Boolesche Funktion aufbauen.
Andere Funktionen mit NAND
- NOT: beide Eingänge verbinden: NAND(A, A) = NOT A.
- AND: den NAND-Ausgang mit einem zweiten NAND invertieren.
- OR: A und B einzeln invertieren und anschließend NAND anwenden.
Universell bedeutet nicht, dass praktische Schaltungen immer nur NAND verwenden sollen. Es bezeichnet funktionale Vollständigkeit.
NOR: OR mit invertiertem Ausgang
NOR bedeutet NOT OR und liefert nur bei lauter Nullen eine 1:
Y = NOT (A OR B)
Auch NOR ist universell. Zwei rückgekoppelte NOR-Gatter können ein einfaches SR-Latch bilden, das einen Zustand hält. Damit beginnt der Übergang von kombinatorischer zu sequenzieller Logik.
XOR: wahr bei unterschiedlichen Eingängen
XOR bedeutet exclusive OR. Bei zwei Eingängen ist der Ausgang 1, wenn genau einer der Eingänge 1 ist:
Y = A XOR B
Für 00 und 11 ist der Ausgang 0, für 01 und 10 ist er 1. XOR erkennt somit Unterschiede. Texas Instruments stellt die Funktion mit ⊕ dar und beschreibt, wie ein Eingang die unveränderte oder invertierte Weitergabe des anderen Signals steuern kann.
Im Halbaddierer gilt:
S = A XOR B
und für den Übertrag:
C = A AND B
XOR wird außerdem für Parität, Vergleiche, Masken und selektive Bitinversion eingesetzt.
XNOR: wahr bei gleichen Eingängen
XNOR ist das Gegenteil von XOR:
Y = NOT (A XOR B)
Für 00 und 11 ist der Ausgang 1. XNOR ist daher ein Äquivalenzgatter und kann ein Bitpaar vergleichen. Für mehrbitige Wörter werden die Bitpaare jeweils mit XNOR verglichen und alle Ergebnisse anschließend mit AND verbunden.
De-Morgan-Regeln: Inversionen verschieben
Die De-Morgan-Regeln verbinden AND, OR und NOT:
NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)
Damit lassen sich Schaltungen vereinfachen, verfügbare Gatter nutzen, aktive Low-Signale verstehen und scheinbar unterschiedliche Realisierungen als gleichwertig erkennen.
Vom Booleschen Ausdruck zur Schaltung
Beispiel:
Y = (A AND B) OR (NOT C)
- A und B mit einem AND-Gatter verbinden;
- C mit einem NOT-Gatter invertieren;
- beide Zwischenergebnisse an OR anschließen.
Die Schaltung ist kombinatorisch, weil ihr Ausgang nur von den aktuellen Eingängen abhängt. Mit Rückkopplung, Latches, Flipflops und Takt entstehen sequenzielle Schaltungen, deren Ausgang auch vom vorherigen Zustand abhängt.
Vom Halbaddierer zum Volladdierer
Ein Halbaddierer verwendet XOR und AND, kann jedoch keinen eingehenden Übertrag verarbeiten. Ein Volladdierer besitzt zusätzlich Cin:
S = A XOR B XOR Cin
Cout = (A AND B) OR (Cin AND (A XOR B))
Mehrere Volladdierer bilden einen Mehrbitaddierer und zeigen, wie einfache Gatter Teil der ALU werden.
Ideale Gatter und reale Bauteile
Die Wahrheitstabelle beschreibt ein ideales Verhalten. Ein reales Bauteil besitzt:
- Versorgungsspannung und kompatible Logikfamilie;
- Eingangsschwellen für Low und High;
- Ausbreitungsverzögerung;
- begrenzte Treiberfähigkeit und Fan-out;
- Störabstand;
- Leistungsaufnahme und maximale Frequenz.
Texas Instruments bietet zahlreiche Gatterfamilien für unterschiedliche Spannungen. Nexperia dokumentiert konfigurierbare Bausteine, die AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR, Inverter, Puffer und Multiplexer realisieren. Gatter sind also reale elektronische Komponenten mit messbaren Spezifikationen.
Hinweis zu den didaktischen Bildern
„0 = kein Signal, 1 = Signal vorhanden“ ist eine hilfreiche Vereinfachung. Genauer sind 0 und 1 logische Zustände, die durch erkennbare elektrische Pegel dargestellt werden. Beim NOT-Symbol zeigt das Dreieck die konventionelle Richtung; die Ausgangsblase kennzeichnet die Inversion.
Häufige Fehler
- OR und XOR verwechseln: OR ist auch bei 11 gleich 1, XOR nicht.
- Die Blase übersehen: sie macht aus AND NAND, aus OR NOR und aus XOR XNOR.
- 0 und 1 als universelle Spannungen betrachten: Schwellen sind bauteilabhängig.
- OR mit Addition verwechseln: 1 OR 1 = 1, aber 1 + 1 = 10₂.
- Verzögerungen ignorieren: reale Ausgänge reagieren nicht sofort.
- Eingänge offen lassen: ein schwebender Eingang kann unbestimmt oder störanfällig sein.
Häufig gestellte Fragen
Welche Gatter gelten als grundlegend?
AND, OR und NOT gelten häufig als elementar. NAND, NOR, XOR und XNOR entstehen aus Kombinationen oder Inversionen.
Warum sind NAND und NOR universell?
Weil jede dieser Gatterarten allein, mehrfach verwendet, jede Boolesche Funktion realisieren kann.
Bedeutet XOR „mindestens eins“?
Bei zwei Eingängen bedeutet XOR genau eins beziehungsweise unterschiedliche Eingänge. OR bedeutet mindestens eins und schließt 11 ein.
Können Gatter mehr als zwei Eingänge besitzen?
Ja. AND, OR, NAND und NOR sind auch mit drei, vier, acht oder mehr Eingängen erhältlich.
Können Logikgatter Daten speichern?
Ein einzelnes kombinatorisches Gatter speichert keinen Zustand. Rückgekoppelte Gatter können Latches und Flipflops bilden.